La actualidad de las Aporías de Zenón de Elea

Índice

Introducción

Zenón de Elea (siglo V a.C.), filósofo presocrático, discípulo de Parménides, adoptó para la Filosofía un nuevo método de conocimiento: la Dialéctica, mediante la postulación de las denominadas aporías o mal llamadas paradojas. El término «dialéctica» y más propiamente «arte dialéctico» estuvo en estrecha relación con el vocablo «diálogo»; por ello el arte dialéctico puede definirse primeramente como el arte del diálogo. Para los griegos, la dialéctica era «el camino luminoso», el encadenamiento de un «logos» con otro «logos» hasta llegar a una conclusión.

Si bien todos los filósofos han utilizado desde siempre la Dialéctica, dado que todos ellos se han caracterizado por el encadenamiento de sus ideas y la lógica con que presentan sus teorías, fue Zenón quien lanzó abiertamente esta disciplina. Este sistema consiste en tomar una tesis aceptada por la opinión general, razonando sobre ella hasta demostrar, o que sus ideas se contradicen entre sí, o bien que la conclusión a que llevan es contradictoria con respecto al argumento original del cual hemos partido.

El dialéctico está dispuesto a aceptar como verdadera una tesis, si razonando sobre ella llega a un resultado lógico, o sea, no contradictorio. Pero debe hacer un razonamiento exhaustivo sobre esa idea, someterla a cuantas pruebas sean posibles y si tras ellas resulta aún válida, ello implica que es correcta. La dialéctica clásica es un encadenamiento donde tiene que haber una total correspondencia entre el primer concepto, todos los que siguen y el último; en todos ellos ha de existir una correspondencia natural.

Es un instrumento fundamental del análisis teorético. Su originalidad reside en la incorporación del estudio de las «hipótesis» en forma de diálogo como método de preguntas y respuestas, mediante las cuales se pone a prueba la consistencia o inconsistencia de lo que se afirma, haciendo visibles las posibles consecuencias contradictorias que dimanen de una determinada hipótesis. Este método fue utilizado posteriormente por Sócrates y Platón, siendo este último quien lo incorpora y desarrolla por cauces originales, emparentándolo con el método matemático de demostración en su diálogo Menón. Y en Parménides muestra las antinomias que se desprenden de ciertas afirmaciones metafísicas y su mutua exclusión.

La concepción desarrollada de la dialéctica platónica se halla en otro diálogo de madurez, El Sofista, en el que se define como método filosófico por excelencia, mediante el cual es posible pasar de una mera intuición de las ideas en sí, a una comprensión de las articulaciones entre las ideas, de los puntos en que unas ideas comunican o se separan de otras. La Dialéctica permite, por tanto, investigar el movimiento y la circulación de las ideas que configuran la realidad esencial de las cosas. En este sentido Platón deslinda la Dialéctica de la eurística (de eris, lucha), método pragmático ampliamente utilizado por los sofistas como instrumento apropiado para «vencer» en las disputas, dejando de ser un instrumento teórico para convertirse en el arma pragmática más ajustada al lema de Protágoras: «Hacer que el argumento más débil llegue a parecer el más fuerte».

La construcción de estas contradicciones las realiza Zenón en las denominadas aporías, o sea, proposiciones sin salida lógica o con dificultades lógicas insuperables. Las aporías frecuentemente han sido denominadas también paradojas. Sin embargo, no son conceptos idénticos. las paradojas son aquellos enunciados internamente contradictorios, o sea, aquellos cuya afirmación implica su negación. En las aporías, en cambio, la dificultad radica en una imprecisión relativa a los conceptos de tiempo y movimiento.

Algunos autores como Borges las han calificado como auténticas joyas; otros, como Stuart Mill, las consideran auténticas falacias de confusión. Lo verdaderamente cierto es que siempre han causado fascinación sobre filósofos, matemáticos, literatos y lectores en general, aunque sólo sea porque las aporías de Zenón son a la mente lo que una bicicleta estática es al cuerpo: no se llega a ninguna parte, pero el ejercicio nos habituará para iniciar y concluir, algún día, esta eterna carrera.

Las aporías de Zenón

Zenón utiliza este sistema para mantener, desde otra perspectiva, las tesis de su maestro Parménides, fundamentalmente dirigidas contra la pluralidad y el movimiento. Igualmente sostiene sus argumentos, no sin cierta complejidad, en contra del espacio, y finalmente contra la fiabilidad de la percepción sensorial a través del cuento del «grano de mijo», cuyo pedigrí no está exento de sospecha.

El propósito de los argumentos de Zenón los expresa claramente Platón en su diálogo «Parménides».

Cuando Parménides y Zenón estaban en Atenas con ocasión de las Grandes Panateneas, Zenón leyó su tratado a un pequeño grupo en el que se incluía Sócrates. A continuación, este le pidió que leyera de nuevo la primera hipótesis del primer argumento. Una vez leída por Zenón, Sócrates la repitió con sus mismas palabras de modo que Zenón pudiera confirmar que la había entendido correctamente y continuó:

«-Veo, Parménides, que la intención de Zenón es asociarse contigo por medio de su tratado de una forma no menos interna de lo que lo está por su amistad. De alguna forma, su libro expresa y mantiene una posición idéntica a la tuya propia; pero recurriendo a variar con algunos cambios la forma, intenta engañarnos, haciendo que pensemos que su tesis es diferente. Tú afirmas… que el Todo es Uno… Zenón, en cambio, dice que la pluralidad no existe… Cada uno de vosotros se expresa de tal manera que sus argumentos parece que nada tienen en común, si bien realmente vienen a ser poco más o menos lo mismo…

– Sí, Sócrates, respondió Zenón, pero tú no has comprendido perfectamente el carácter real de mi libro… No pretende enmascararse al público el hecho de que se ha escrito con la finalidad que tú describes… El libro es en verdad una especie de defensa del razonamiento de Parménides contra quienes intentan ridiculizarlo y afirman que su hipótesis de que lo Uno existe lleva a muchos absurdos y contradicciones. Este libro, pues, refuta a quienes postulan la pluralidad. Les devuelve con creces su misma moneda, pretendiendo demostrar, sobre la base de un examen exhaustivo, que su propia hipótesis de que la pluralidad existe lleva a consecuencias más absurdas aún que la hipótesis del Uno».

El encuentro bien pudiera haber sido una ficción, pero podemos creer a Platón cuando asegura que el propósito de Zenón fue defender las hipótesis de Parménides.

Siguiendo a su maestro Parménides, Zenón postuló que la unidad y la indivisibilidad iban inevitablemente juntas. La pluralidad es una noción en sí contradictoria porque implica un conjunto de unidades (indivisibles): «La pluralidad es una suma de unidades», e igualmente implicaría que la realidad es divisible. Ahora bien, si es así, habrá de ser infinitamente divisible, porque tiene que ser una magnitud, y toda magnitud es divisible en partes que, a su vez, siguen siendo magnitudes y, por consiguiente, en sí divisibles, por muy pequeñas que sean. Pero si esto es así, no habrá nada que pueda llamarse unidad, porque cualquier cosa que se tome como tal puede dividirse aún y, por tanto, no es unitaria. De lo que se deduce que, puesto que la pluralidad es una pluralidad de unidades, la pluralidad no podrá existir tampoco.

A) Las aporías del movimiento

Los argumentos contra el movimiento, según nos indica Aristóteles en su Física, y amplían los comentaristas griegos, son cuatro, y constituyen el entramado básico de sus aporías que resumimos a continuación:

1) La dicotomía. El movimiento es imposible porque un móvil entre dos puntos cualesquiera A y B tendría siempre que cubrir la mitad de la distancia (C) antes de llegar al final. Pero antes de cubrir la mitad de la distancia (C), tendría que cubrir la mitad de la mitad, y así ad infinitum. De este modo para recorrer completamente cualquier distancia tendría que cubrir un número infinito de puntos, lo cual es imposible en un tiempo finito.

2) Aquiles y la tortuga. Aquiles el de los pies ligeros, símbolo de la rapidez, tiene que alcanzar a la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y le otorga diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga una décima de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Tal es la paradoja inmortal. Como en el caso de la dicotomía, Aquiles tendrá que recorrer un número infinito de puntos para alcanzar a la tortuga, lo que resulta imposible.

3) La flecha voladora. Las dos aporías anteriores partían del supuesto de que una dimensión espacial no podía reducirse a unidades mínimas, sino que era infinitamente divisible. Ahora bien, el que abordamos ahora solo tiene sentido partiendo de la premisa de que el tiempo se compone de instantes mínimos indivisibles. El texto que presenta Aristóteles es oscuro en el detalle, pero es posible recomponerlo con las exposiciones más completas de los comentaristas griegos.

Zenón parece haber argumentado que, si bien una flecha podía dar la impresión de que se alejaba volando, está realmente inmóvil, porque todo lo que ocupa un espacio igual a sí mismo tiene que estar en reposo en ese espacio, y, en cualquier instante dado de su vuelo, una flecha sólo puede ocupar un espacio igual a sí mismo. Consecuentemente, estará inmóvil en cada instante de su vuelo.

4) El estadio. En el estadio hay tres filas, en cada una de las cuales hay un número de cuerpos u objetos de igual tamaño, dispuestos inicialmente como sigue: Los cuerpos A no se mueven, están en reposo, y los B y C comienzan a moverse en direcciones opuestas, al mismo tiempo y con igual velocidad, hasta que las tres filas coincidan entre sí:

AAAA
BBBB
CCCC

El B de cabeza ha pasado ahora a dos de los A, mientras que el primer C ha pasado a cuatro cuerpos B. Ahora bien, dice Zenón, los objetos que se mueven con igual velocidad tienen que emplear el mismo tiempo en sobrepasar a un número igual de objetos del mismo tamaño. En consecuencia (dado que los cuatro cuerpos A, B y C son completamente iguales), 4A = 2A. Dicho de otra forma, la mitad de un tiempo dado es igual al doble del mismo, es decir, al todo. La conclusión, como la de los otros argumentos, es una reiteración de la tesis parmenídea de la no existencia o irrealidad del movimiento.

B) La aporía del espacio

Zenón se desembaraza, asimismo, de la noción de lugar o espacio, además de las de pluralidad y movimiento, a través de la siguiente aporía. Todo lo que existe está en un lugar y ocupa un espacio. En consecuencia, el propio lugar, si existe, estará también en un lugar, y así ad infinitum. Esto es absurdo, luego el espacio no existe.

C) La aporía de la percepción sensible

Aunque existen dudas sobre la forma exacta en que Zenón planteó este argumento, su autoría está atestiguada por Aristóteles. Parece ser una ampliación, a otro campo diferente, de su ataque contra los infinitesimales, que sirve aquí al propósito adicional parmenídeo de desacreditar la percepción sensorial. Según él, una cosa, o tiene magnitud, o no la tiene. De un modo semejante, o produce un sonido, o no lo produce.

Ante la cuestión que plantea Zenón respecto a si produce algún sonido un solo grano de mijo al caer, su interlocutor responde afirmativamente. Zenón continúa preguntando ¿Y medio grano, produce algún sonido? hasta que al fin la respuesta es negativa. ¿No hay entonces una relación entre medio grano de mijo y un grano? Si es así, y si un grano de mijo produce un sonido, también lo producirá medio, y la milésima parte de un grano. De este modo sostiene la argumentación de Parménides la desconfianza en torno a la percepción de nuestros sentidos.

La permanente actualidad de la controversia

Ya desde Aristóteles se han intentado refutar las aporías de Zenón, en especial las relacionadas con el movimiento y en particular la de Aquiles y la tortuga. Aristóteles critica la aporía de Zenón, advirtiendo que el vocablo «infinito» tiene dos sentidos: ser infinito en divisibilidad no es lo mismo que ser infinito en extensión. Todo continuum es infinitamente divisible, y esto se aplica también al tiempo y al espacio. Es perfectamente posible, por ello, recorrer en un tiempo finito un espacio que es infinitamente divisible, aunque no de extensión infinita. En su Física retoma la cuestión y admite que, aunque es suficiente este argumento contra Zenón, no explica los hechos de un modo pleno y satisfactorio.

«Si se deja a un lado la distancia y la cuestión de si es posible recorrer un número infinito de distancias en un tiempo finito, y se plantean las mismas cuestiones sobre el tiempo en sí (ya que el tiempo contiene un número infinito de divisiones), esta solución ya no sería la adecuada».

Siguiendo estas refutaciones aristotélicas, asumidas también por Thomas Hobbes, Stuart Mill, en su sistema de lógica, sintetiza ambas indicando que las paradojas de Zenón son sólo un ejemplo de «la falacia de la confusión». En la conclusión del sofisma -dice Mill- Aquiles estará corriendo infinitamente y para siempre; esto quiere decir en cualquier imaginable lapso de tiempo y significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y no encontrarán fin las subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza, pero un ilimitado número de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado.

El argumento no prueba otra infinitud de duración que la contenible en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que la duración total sea de cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito.

Estas refutaciones de Mill, en palabras de Borges, no son otra cosa que una nueva exposición de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro para establecer el tiempo que necesita, teniendo en cuenta que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga:

10 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10.000… El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente, once y un quinto, o más exactamente aún, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y este correrá para siempre y su eternidad no será la terminación de doce segundos.

Otra refutación relevante fue la planteada en 1.910 por Henry Bergson, en el notorio «Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia». En resumen, Bergson plantea que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el acto del movimiento, es decir, el tiempo.

Finalmente, para no hacer más extenso el amplio espectro de refutaciones a la aporía Zenoniana (señal por otra parte inequívoca de su actualidad), nos detendremos en la formulada por Russell, según la cual la operación de contar consiste en equiparar dos series. Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Ángel, salvo los que habitaban en las casas donde tenían en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad, pero hay otras operaciones en que es infinita también. Por ejemplo, la serie natural de los números es infinita, pero podemos demostrar que son tantos los impares como los pares, lo que nos llevaría a indicar que la parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el Universo es la que hay en un metro del Universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar. Por ello, cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles; no quedaría ningún remanente periódico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto, el último en el trayecto de Aquiles y el último en el tiempo de la carrera, son términos que matemáticamente coinciden.

Filósofos, matemáticos, literatos e incluso poetas han tenido la tentación de resolver esta eterna maratón que parece ubicarse en la misma esencia de la dicotomía parmenídea de Nous y Doxa. Así, Paul Valery, tras muchas refutaciones a la aporía, escribe:

¡Zenón, cruel Zenón, Zenón de Elea!
Me has traspasado con la flecha alada.
Que vibra y vuela, pero nunca vuela.
Me crea el son y la flecha me mata.
¡Oh sol, oh sol! ¡Qué sombra de tortuga
para el alma: si en marcha Aquiles, quieto!

La lista de pensadores que se han acercado a las aporías de Zenón es extensa, prueba de su relevancia y actualidad para el pensamiento contemporáneo. Con independencia de los citados cabe mencionar a Tomás de Aquino, Leibnitz, Tannery, Guthrie, Brochard, Noel, Taylor, Ross, Cornford y Fränkel entre otros.

La actualidad de las paradojas

No sólo ha sembrado desasosiego refutador la desesperada carrera de Aquiles por alcanzar la tortuga, también se han suscitado a lo largo de la historia una interminable proposición de paradojas (del latín paradoxa y este del griego parádoxa), si bien, en contraposición a las aporías, estas se refieren a lo contrario de la opinión común, o sea, encontrar un razonamiento que conduce a dos enunciados mutuamente contradictorios de tal modo que ninguno de los dos puede ser abandonado. Esta diferencia no es razón para no ver en las paradojas la permanencia de las aporías zenonianas, aunque su finalidad sea bastante distinta. Las primeras paradojas que comenzaron a formularse fueron las lógicas. Les siguieron las semánticas o lingüísticas y finalmente las matemáticas y las físicas.

Vamos a recoger a continuación algunas de las más interesantes:

Needham, en su tratado sobre ciencia y civilización en China, cita algunas de las paradojas que se discutieron alrededor del 320 a.C.; destacamos dos de ellas por su gran similitud con las de Zenón:

Si un palo de un pie de largo se parte por la mitad cada día, seguirá quedando aún algo de él después de 10.000 generaciones.
Hay momentos en que una flecha voladora no está ni en movimiento ni en reposo.

Paradoja de Cervantes

Miguel de Cervantes Saavedra, en su universal obra «El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha», en la Segunda Parte, Capítulo LI, exone la siguiente paradoja, que fue propuesta a Sancho Panza mientras ejercía de gobernador de la ínsula Barataria:

Un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío. Sobre este río estaba un puente. Al cabo del puente una horca y una casa de audiencia en la que había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, del puente y del señorío, y que decía así: «Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera en la horca puesta al otro lado». Todo transcurría según lo previsto, hasta que tomando juramento a un hombre, juró y dijo que iba a morir en la horca que allí estaba.

Los jueces repararon en el juramento de aquel hombre, y dijeron: «Si dejamos pasar libremente a este hombre, mintió en su juramento, y, conforme a la ley, debe morir, y si le ahorcamos, como juró que iba a morir en aquella horca, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre».

Paradoja de Grelling-Nelson

Supongamos en el conjunto de adjetivos dos clases: la de los que se describen a sí mismos (los llamamos autológicos) y la de los que no lo hacen (los llamamos heterológicos). Veamos el vocablo «heterológico». Si heterológico es heterológico, se describe a sí mismo, y por lo tanto es autológico.

Paradoja de Richard

Se denomina también Paradoja de las Palabras. Todo número natural puede ser descrito con palabras. Por ejemplo, 12 se describe con la voz «doce». Consideremos ahora todos los números naturales que pueden describirse con 1000 o menos letras del alfabeto español. Una cota superior del número de descripciones posibles es 271.000. Como este conjunto es finito, existe al menos un número natural no descrito en alguna de las anteriores descripciones. Consideremos «el mínimo del conjunto de los números naturales que no se pueden describir con mil letras o menos». Este número ha sido descrito con menos de mil letras.

Paradoja del mentiroso

Atribuida a Epiménides el Cretense, y conocida por Aristóteles y otros lógicos, no constituye en realidad una paradoja. Surge del hecho de que el enunciado se refiera a sí mismo con la atribución de falsedad, autorreferencia característica de muchas paradojas denominadas semánticas o lingüísticas. Dice así: Esta frase es falsa. Si el enunciado anterior es verdadero, entonces es verdadero que es falso, luego es falso. Si es falso, entonces es falso que sea falso, y por consiguiente es verdadero. Hay algunas variantes de esta paradoja: si alguien dice: «estoy mintiendo», ¿es esta afirmación verdadera o falsa? Si dicha persona está efectivamente mintiendo, está diciendo la verdad, y si está diciendo la verdad, está mintiendo.

Las dos frases siguientes: «La frase siguiente es falsa. La frase anterior es verdadera», constituyen también una contradicción, pues si la primera frase es verdadera, la segunda es falsa; y si la primera frase es falsa, la segunda es verdadera.

Kurt Gödel (1906-1978) formuló una nueva versión de esta paradoja: Supongamos que el 4 de mayo de 1934 Pedro formula la siguiente única proposición: «Todo enunciado que yo haga el 4 de mayo de 1934 es falso». Si este enunciado fuera falso, debería haber un enunciado formulado ese día por Pedro que fuera verdadero; pero Pedro ha realizado un único enunciado. Si fuera verdadero, entonces sería falso.

Paradoja del Mapa

Existe un mapa perfecto de un país. Se dice que este mapa tiene todos los elementos significativos de esa República (llanos, montañas, carreteras) y por supuesto, el mapa mismo en una versión más pequeña pero exacta. Ahora bien, como este mapa es copia fiel del anterior, que es copia fiel del país, debe contenerse a sí mismo, en versión más pequeña pero exacta. En algún momento este mapa será molecular e incluso atómico y subatómico. La pregunta es: «¿Hasta qué punto el mapa puede ser exacto, si la orden es que sea idéntico en todas sus formas?» Una posible respuesta es que el mapa jamás podrá ser exacto, porque habrá un punto en el cual será más pequeño que las partículas de las que está construido.

Paradoja de Oscar Wilde

«Los buenos consejos sólo sirven para pasarlos por alto». Si lo anterior es cierto, es un buen consejo. Si es un buen consejo usted debe pasarlo por alto, es decir, no pasar por alto los buenos consejos. Pero si va a atender el consejo de Wilde, debe pasarlo por alto; es decir no pasarlo por alto…

Finalmente, hacer mención de las paradojas matemáticas descubiertas en la teoría de conjuntos, que acarrearon una de las crisis más graves de la historia de las Matemáticas; fueron las elaboradas por Cantor y Burali Torti sobre el concepto de número ordinal y número cardinal respectivamente, así como la elaborada por Bertrand Rusell sobre el concepto mismo del conjunto, que puede definirse así: el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, pertenecen a sí mismos, si y solo si no pertenecen a sí mismos».

Conclusión

Zenón, resuelto y entusiasta discípulo de Parménides, hizo acopio de su notable capacidad intelectual para concentrarse en una sola tarea, descrita acertadamente por Platón como «la defensa del logos de Parménides». Todos sus argumentos proponían a los hombres que aceptasen la difícilmente digerible verdad de que la realidad es una, indivisible e inmóvil, recurriendo al método dialéctico de evidenciar lo absurdo de las hipótesis contrarias. Como algo incidental a esta finalidad predominante, Zenón desarrolló el método dialéctico del argumento en cuanto tal y subrayó las dificultades implícitas en las concepciones de la pluralidad, el movimiento, el tiempo y el espacio, que, en palabras de A.E. Taylor, llevaron a una reconstrucción de los conceptos matemáticos fundamentales, que comenzó en la época de Platón y apenas si se ha completado en la nuestra.

Entre sus oponentes se incluyen todos los que creen que los conejos corren y el tiempo pasa –en una palabra, todos los que siguen los dictados del actual sentido común– en este mundo sensible.

Siguiendo a Borges, podemos decir que, sin embargo, Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Tal vez seamos nosotros los que pasamos por el tiempo, y este no se mueve. Desde esta consideración, podríamos eludir los abismos de la paradoja.

¿Y tocar nuestro concepto de universo, de vida y de realidad por este pedacito de tiniebla griega?, se preguntará el lector.

Adenda

«Un teletipo de última hora llegado a nuestra redacción afirma que revisada la foto finish los participantes no llegaron a traspasar la línea de meta, por lo que la carrera ha sido anulada. La tortuga, sin realizar comentario alguno, salió de su caparazón e inició el eterno viaje hacia la línea de salida, mientras Aquiles, todavía jadeante manifestó no tener tiempo para recuperarse; no obstante, afirmó que tendría más que palabras con el juez de la carrera Zenón de Elea, en cuanto llegase a los tacos de salida. Dicho esto, Aquiles comenzó el infinito camino de vuelta cuando la tortuga ya llevaba realizados unos diez metros».

Bibliografía

La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga. Jorge Luis Borges.
Los filósofos presocráticos II. Biblioteca Clásica Gredos. Varios Autores.
Historia de la Filosofía Griega II. Editorial Gredos. W.K.C. Guthrie.
Sistema de Lógica. Stuart Mill
Física. Aristóteles. Ed. Gredos.
Ensayos sobre los datos inmediatos de la Conciencia. Henry Bergson.

La actualidad de las Aporías de Zenón de Elea

Autor: Lisardo García

Introducción